Resistência à Flexão do Dente conforme a ISO 6336: O Guia Completo do Cálculo de $S_F$

O que $S_F$ governa — e o que ele não governa

A falha por flexão do dente não é um fenômeno de superfície. Ela se inicia no filete da raiz do dente — a transição côncava entre o perfil evolvente e o círculo de raiz — onde a tensão de tração sob carga é concentrada pela descontinuidade geométrica.

Uma trinca de fadiga se nucleia no ponto de máxima tensão de tração, propaga-se através da seção transversal do dente e termina em uma fratura catastrófica. A engrenagem não emite aviso. O dente quebra.

A ISO 6336-3:2019 governa um modo específico de falha: fadiga por flexão do dente. Ela não governa:

• Sobrecarga por flexão do dente (fratura em um único ciclo quando a tensão excede a resistência última do material) — a ISO 6336 não fornece um método quantitativo para esse modo de falha; sua avaliação é realizada por meio de $S_{F,stat}$, utilizando propriedades estáticas do material.

• Fratura do flanco do dente (trinca subsuperficial na interface camada endurecida–núcleo de dentes com endurecimento superficial) — governada pela ISO/TS 6336-4:2019, uma Especificação Técnica (ainda não uma Norma Internacional), confirmada como vigente na revisão sistemática de 2022.
  
  A fratura do flanco do dente é caracterizada por uma trinca primária de fadiga iniciada abaixo da superfície na região ativa de contato, causada pelas tensões de cisalhamento geradas pelo contato entre os flancos. Esse modo de falha é distinto da fratura da raiz do dente e do pitting, pois sua origem ocorre no interior da camada endurecida.
  
  

• Fratura por fadiga do aro (em engrenagens de aro fino, trincas podem se iniciar no filete submetido à compressão e propagar-se através do aro, em vez do dente) — a ISO 6336-3 exclui explicitamente a previsão adequada da segurança para esse modo de falha quando $s_R < 0{,}5 \cdot h_t$ em engrenagens cilíndricas externas.

O cálculo é válido apenas dentro do escopo da ISO 6336-1:2019, especificamente para: ângulos de pressão no plano normal entre 15° e 25°, razões de contato transversais $\varepsilon_\alpha \geq 1{,}0$, ausência de interferência entre os topos dos dentes e os filetes de raiz, e perfis de dentes acabados gerados por fresa-mãe (hob) ou por ferramenta do tipo shaper cutter. Fora desse escopo, os resultados devem ser confirmados por experiência prática ou pelo Método A (ensaios diretos).

Contexto normativo deste artigo: ISO 6336-3:2019, Método B, engrenagens cilíndricas externas, lubrificadas a óleo e com dentes gerados por fresa-mãe (hob), salvo indicação em contrário.

Uma Assimetria Estrutural entre \(S_H\) e \(S_F\) que Quase Nenhum Texto Explica

Embora $S_H$ e $S_F$ sejam calculados em paralelo, eles não são estruturalmente simétricos. Existem três diferenças fundamentais:

1. Escalonamento da tensão: $\sigma_H \propto \sqrt{F_t}$ (contato de Hertz — raiz quadrada da carga). $\sigma_F \propto F_t$ (flexão de viga — linear com a carga). Isso significa que os fatores de carga entram no cálculo de $S_H$ sob uma raiz quadrada, enquanto entram diretamente no cálculo de $S_F$. Dobrar o produto combinado dos fatores de carga dobra $\sigma_F$, mas multiplica $\sigma_H$ apenas por $\sqrt{2}$. Como consequência, a resistência à flexão é mais sensível a erros nos fatores de carga do que a resistência ao contato.

2. Independência dos modos de falha: Uma engrenagem que falha por pitting apresenta degradação da superfície, mas mantém íntegra a seção resistente do dente, podendo continuar transmitindo carga. Já uma engrenagem que falha por fratura do dente interrompe a operação de forma imediata e catastrófica. As consequências desses modos de falha não são equivalentes, e os valores mínimos de $S_{F,\min}$ especificados nas normas de aplicação são, em geral, superiores aos de $S_{H,\min}$ para uma mesma aplicação.

3. Base das propriedades do material: $\sigma_{H\lim}$ (contato) é determinado a partir de ensaios de contato de Hertz entre discos. Já $\sigma_{F\lim}$ (flexão) é obtido por meio de ensaios de flexão em dentes de engrenagens utilizando engrenagens de referência padronizadas, com aplicação de uma carga em balanço na ponta do dente. Assim, os bancos de dados dessas propriedades são independentes: um mesmo material pode apresentar elevado $\sigma_{H\lim}$ e um $\sigma_{F\lim}$ relativamente menor, ou vice-versa.

A Equação Mestra — Inventário Completo dos Fatores

Fator de segurança à flexão:

$$S_F = \frac{\sigma_{FP}}{\sigma_F} \geq S_{F,\min}$$

Tensão calculada na raiz do dente:

$$\sigma_F = \sigma_{F0} \cdot K_A \cdot K_v \cdot K_{F\beta} \cdot K_{F\alpha}$$

Tensão nominal na raiz do dente:

$$\sigma_{F0} = \frac{F_t}{b \cdot m_n} \cdot Y_F \cdot Y_S \cdot Y_\beta \cdot Y_B \cdot Y_{DT}$$

Tensão admissível na raiz do dente:

$$\sigma_{FP} = \sigma_{F\lim} \cdot Y_{ST} \cdot Y_{NT} \cdot \frac{Y_{\delta,\text{rel}T} \cdot Y_{R,\text{rel}T}}{S_{F\lim}} \cdot Y_X$$

Inventário completo dos fatores: $Y_F$, $Y_S$, $Y_\beta$, $Y_B$, $Y_{DT}$, $K_A$, $K_v$, $K_{F\beta}$, $K_{F\alpha}$, $\sigma_{F\lim}$, $Y_{ST}$, $Y_{NT}$, $Y_{\delta,\text{rel}T}$, $Y_{R,\text{rel}T}$, $Y_X$ e $S_{F\lim}$. São dezesseis grandezas. Cada uma delas será derivada em detalhes nas seções seguintes.

A carga específica $F_t / (b \cdot m_n)$ possui unidades de N/mm². Multiplicada pelos fatores adimensionais $Y_F \cdot Y_S \cdot Y_\beta \cdot Y_B \cdot Y_{DT}$, ela fornece diretamente $\sigma_{F0}$ em MPa — sem raiz quadrada e sem transformação de Hertz. Essa linearidade é fundamental: todo erro de 10% em um fator de carga resulta em um erro de 10% em $\sigma_F$ e, consequentemente, propaga-se proporcionalmente para $S_F$.

Parte I — Tensão Nominal na Raiz do Dente $\sigma_{F0}$

$Y_F$ — Fator de Forma do Dente

Significado físico: $Y_F$ converte a carga tangencial no dente em tensão de flexão na seção da raiz do dente. Ele incorpora toda a geometria do dente — o braço de alavanca entre o ponto de aplicação da carga e a seção da raiz, bem como as dimensões dessa seção. É o fator mais sensível à geometria em toda a cadeia de cálculo de $S_F$.

Modelo físico: A ISO 6336-3 modela o dente da engrenagem como uma viga em balanço não uniforme, carregada na ponta (ou no ponto determinante de contato de um único par de dentes para $\varepsilon_\alpha \leq 2$). O momento fletor na seção crítica da raiz é dado por $M = F_{n,\alpha} \cdot h_{Fe}$, em que $h_{Fe}$ é o braço do momento fletor e $F_{n,\alpha}$ é a componente normal da carga. O módulo resistente da seção da raiz é função da corda normal na raiz $s_{Fn}$ e da largura da face $b$. A expressão resultante para a tensão, após a normalização por $F_t / (b \cdot m_n)$, define o fator $Y_F$.

Formula (ISO 6336-3:2019, Clause 6.2, Method B):

$$Y_F = \frac{6 \left(h_{Fe}/m_n\right) \cos\alpha_{Fen}}{(s_{Fn}/m_n)^2 \cos\alpha_n} \cdot \frac{1}{f_\varepsilon}$$

Onde:

• $h_{Fe}$ = braço do momento fletor — distância perpendicular entre a linha de aplicação da carga e o centroide da seção crítica da raiz.
• $s_{Fn}$ = corda normal na raiz — espessura do dente na seção crítica da raiz.
• $\alpha_{Fen}$ = ângulo da direção da carga em relação à linha de centro do dente no ponto de contato.
• $\alpha_n$ = ângulo de pressão normal.
• $f_\varepsilon$ = fator de influência da distribuição de carga (introduzido na edição de 2019)

Os termos geométricos $h_{Fe}$, $s_{Fn}$ e $\rho_F$ (raio do filete da raiz) são derivados de:

• Os parâmetros da cremalheira básica da ferramenta ($h_{a0}$, $\rho_{a0}$, $\alpha_n$).
• Os parâmetros da engrenagem ($z$, $x$, $m_n$, $\beta$).
• O número virtual de dentes para engrenagens helicoidais: $z_n = z / \cos^3\beta_b$.

Alteração na edição de 2019 — $f_\varepsilon$ e integração do shaper cutter

A edição de 2006 fornecia a derivação de $Y_F$ apenas para engrenagens geradas por fresa-mãe (hob). A edição de 2019 acrescenta explicitamente as Cláusulas 6.2.4 e 6.2.5 para engrenagens geradas por ferramenta do tipo shaper cutter (pinhão gerador), nas quais a geometria da ferramenta — número de dentes do cortador $z_0$, deslocamento de perfil do cortador $x_0$ e adendo do cortador $h_{a0}$ — modifica diretamente o raio do filete da raiz $\rho_F$ e, consequentemente, altera $Y_F$ e $Y_S$ em relação ao caso de engrenagens geradas por hob.

O fator $f_\varepsilon$ foi introduzido na edição de 2019 para considerar a influência da distribuição de carga sobre a tensão determinante na raiz do dente em engrenagens helicoidais com $\varepsilon_\beta \geq 1$. Para engrenagens de dentes retos ($\varepsilon_\beta = 0$), $f_\varepsilon = 1{,}0$. Para engrenagens helicoidais com sobreposição total, $f_\varepsilon < 1{,}0$, reduzindo $Y_F$ e, consequentemente, $\sigma_{F0}$.

O que muitos engenheiros deixam passar: O fator $Y_F$ é calculado individualmente para o pinhão e para a roda. Ele não é simétrico em um par de engrenagens convencional — o pinhão normalmente possui menos dentes, um deslocamento de perfil $x_1$ diferente e uma geometria de raiz distinta da roda. Assim, $Y_{F1} \neq Y_{F2}$, exceto em casos degenerados. A verificação crítica de resistência à flexão corresponde à engrenagem que apresenta o maior produto $Y_F \cdot Y_S$, o que nem sempre é o pinhão, apesar dessa ser uma suposição bastante difundida.

Efeito do deslocamento de perfil: Um deslocamento de perfil positivo ($x > 0$) desloca o filete da raiz para fora, aumentando $\rho_F$ e reduzindo a severidade do entalhe $q_s$. O efeito resultante sobre o produto $Y_F \cdot Y_S$ é:

• $Y_S$ diminui (maior $\rho_F$ → menor amplificação do efeito de entalhe) — sempre um efeito benéfico.
• $Y_F$ varia de forma não monotônica: tanto o braço do momento fletor $h_{Fe}$ quanto a corda na raiz $s_{Fn}$ se alteram, e é a razão entre essas duas grandezas que determina se $Y_F$ aumenta ou diminui com o deslocamento de perfil $x$.

Para números de dentes convencionais ($z \geq 20$, $x = 0$), o efeito líquido de um deslocamento de perfil positivo moderado ($0{,}3 \leq x \leq 0{,}5$) é uma pequena redução em $Y_F \cdot Y_S$ e, consequentemente, uma redução de aproximadamente 5% a 10% em $\sigma_{F0}$.

Para baixos números de dentes ($z < 17$, $x = 0$), ocorre undercut (rebaixo da raiz). A formulação padrão de $Y_F$ não é válida para geometrias com undercut. A ISO 6336-3 afirma explicitamente que essa formulação se aplica apenas a perfis de dente sem undercut. Em engrenagens com undercut, a seção resistente da raiz é enfraquecida na região do rebaixo, introduzindo uma concentração de tensões que o modelo de viga utilizado para os fatores $Y_F$ e $Y_S$ não consegue representar, pois ele pressupõe um filete trocoidal contínuo. O número mínimo de dentes sem undercut para uma cremalheira padrão ($\alpha_n = 20^\circ$, $x = 0$) é:

$$z_{\min} = \frac{2 h_{a0}/m_n}{\sin^2\alpha_n} = \frac{2 \times 1{,}0}{\sin^2 20°} = \frac{2}{0{,}1170} \approx 17$$

Abaixo de $z = 17$ com $x = 0$, ocorre undercut e o cálculo de $Y_F$ torna-se formalmente inválido. Um deslocamento de perfil positivo elimina o undercut e restabelece a validade das equações. Essa é a justificativa normativa para exigir $x > 0$ em engrenagens com baixo número de dentes — não apenas uma recomendação para aumento da resistência.

$Y_S$ — Fator de Correção de Tensão

Significado físico: O fator $Y_S$ corrige a tensão nominal de flexão obtida pelo modelo de viga para representar o estado real de tensões no filete da raiz do dente. O modelo de viga fornece a tensão média na seção da raiz. Na realidade, a tensão é mais elevada, concentrando-se no filete submetido à tração devido à descontinuidade geométrica, ao gradiente de tensões e aos efeitos de multiaxialidade. Assim, $Y_S$ representa a razão entre a tensão máxima real de tração e a tensão nominal prevista pelo modelo de viga.

Formula (ISO 6336-3:2019, Clause 7):

$$Y_S = \left(1{,}2 + \frac{0{,}13 \cdot L^{\ast}}{\rho_F^{\ast}}\right) \cdot q_s^{0{,}389 + 0{,}0125 \cdot (L^{\ast})^2 / \rho_F^{\ast}}$$

Onde:

A formulação incorpora a correção elástica de tensões de Neuber para um entalhe curvo submetido à flexão, adaptada à geometria da raiz do dente por Hirt e Strasser. O expoente aplicado a $q_s$ não é constante: ele aumenta com o quadrado da razão entre a corda normalizada da raiz e o raio normalizado do filete, fazendo com que a amplificação das tensões cresça de forma mais acentuada em raízes estreitas com filetes de pequeno raio. Essa é a representação matemática do motivo pelo qual um filete de raiz agudo é desproporcionalmente mais crítico do que sua geometria, isoladamente, poderia sugerir.

O parâmetro $q_s$ representa a severidade do entalhe, sendo geometricamente equivalente à razão entre a metade da espessura da seção resistente e o raio do filete da raiz. O intervalo $1{,}0 \leq q_s \leq 8{,}0$ corresponde ao domínio experimentalmente validado da formulação. Fora dessa faixa, a base teórica desenvolvida por Hirt e Strasser deixa de ser aplicável, sendo necessária a utilização do Método A.

Tendência qualitativa — sem tabela numérica

Para uma corda normalizada da raiz fixa, $Y_S$ aumenta monotonicamente à medida que o raio normalizado do filete diminui. Em outras palavras, um filete mais agudo (gerado por shaper cutter ou com undercut) sempre produz uma concentração de tensões maior do que um filete de maior raio (gerado por hob, retificado ou com deslocamento de perfil positivo), pois $q_s$ aumenta à medida que o raio do filete diminui em relação à corda, e $Y_S$ cresce com $q_s$. Essa relação qualitativa é a única afirmação apresentada neste artigo sem estar associada a um valor numérico.

Nota de correção: Uma versão anterior deste artigo atribuía faixas numéricas específicas de $Y_S$ para diferentes intervalos de raio de filete (por exemplo, "filete retificado → 1,5–1,8"). Entretanto, ao aplicar a própria equação apresentada acima aos mesmos intervalos, utilizando os valores de corda e raio do filete efetivamente verificados na Parte V ($1{,}66$–$1{,}73$ mm para a corda e $0{,}36$–$0{,}37$ mm para o filete, ambos normalizados por $m_n$), obtém-se $Y_S \approx 2{,}70$–$2{,}74$, valores incompatíveis com todas as faixas anteriormente apresentadas. Utilize diretamente a equação, empregando os valores reais da sua engrenagem — exatamente como faz o motor de cálculo do Qevork.

O que muitos engenheiros deixam passar — três pontos fundamentais

Primeiro: $Y_S$ é um fator relativo de correção de tensões, e não um fator absoluto de concentração de tensões. A sensibilidade do material ao entalhe é considerada separadamente por $Y_{\delta,\text{rel}T}$. Essa separação é intencional: $Y_S$ depende exclusivamente da geometria, enquanto $Y_{\delta,\text{rel}T}$ depende das propriedades do material. Confundir esses dois fatores resulta em dupla contabilização do efeito do entalhe.

Segundo: Um shaper cutter produz um filete de raiz mais agudo do que uma fresa-mãe (hob) para um mesmo módulo. Isso não é um defeito de fabricação, mas uma consequência geométrica do perfil evolvente do cortador, que gera um filete trocoidal com menor $\rho_F$. Sempre que uma engrenagem especificada para geração por hob for efetivamente fabricada com shaper cutter, é obrigatório recalcular $Y_S$ utilizando o valor real de $\rho_F$ correspondente à geometria da ferramenta empregada. Utilizar o valor de $Y_S$ calculado para hob em uma engrenagem produzida com shaper cutter subestima $\sigma_{F0}$ em uma magnitude dependente de $\rho_F$, tipicamente entre 10% e 20%.

Terceiro: A própria norma limita a validade de $Y_S$ ao intervalo de aplicação da equação. Para valores de $q_s$ fora da faixa experimentalmente verificada (aproximadamente $1{,}0 \leq q_s \leq 8{,}0$ no Método B), a equação passa a extrapolar além de sua base experimental. Essa é precisamente a condição que leva a ISO 6336-1 a exigir a utilização do Método A.

O Produto $Y_F \cdot Y_S$ — Por que ele é o Parâmetro Geométrico Crítico da Resistência à Flexão

Na equação de $\sigma_{F0}$, os fatores $Y_F$ e $Y_S$ aparecem sempre como um produto. A grandeza combinada $Y_F \cdot Y_S$ representa a contribuição total da geometria do dente para a tensão de flexão na raiz. Para valores fixos de $m_n$, $b$ e $F_t$, quanto maior for $Y_F \cdot Y_S$, maior será $\sigma_{F0}$.

O dente determinante em um par de engrenagens é aquele que apresenta o maior valor de $Y_F \cdot Y_S$ — e não necessariamente aquele pertencente à engrenagem menor. Considere, por exemplo, um par com $z_1 = 17$, $z_2 = 85$, $x_1 = +0{,}5$ e $x_2 = 0$. O pinhão possui menos dentes, porém apresenta deslocamento de perfil positivo; a roda possui mais dentes, mas não possui deslocamento de perfil. Os valores relativos de $Y_{F1} \cdot Y_{S1}$ e $Y_{F2} \cdot Y_{S2}$ não são determinados apenas pelo número de dentes e, portanto, devem ser calculados explicitamente para ambas as engrenagens.

$Y_\beta$ — Fator do Ângulo de Hélice (Flexão)

Significado físico: Nas engrenagens helicoidais, a linha de contato oblíqua distribui a carga ao longo da largura da face de maneira progressiva, em vez de instantânea, como ocorre nas engrenagens de dentes retos. O fator $Y_\beta$ reduz $\sigma_{F0}$ para representar a menor tensão máxima de flexão em cada seção transversal do dente, decorrente desse compartilhamento de carga.

Formula (ISO 6336-3:2019, Clause 8 — modified in 2019 edition):

$$Y_\beta = 1 – \varepsilon_\beta \cdot \frac{\beta^\circ}{120°}$$

Com os limites: $Y_\beta \geq 1 - \varepsilon_{\beta,\max} \cdot \dfrac{\beta^\circ}{120^\circ}$ e $Y_\beta \geq 0{,}75$

onde $\varepsilon_{\beta,\max} = \min(\varepsilon_\beta, 1{,}0)$.

Alteração na edição de 2019: A edição de 2006 utilizava uma formulação mais simples para $Y_\beta$, que não tratava adequadamente engrenagens com $\varepsilon_\beta > 1$, situação em que a linha de contato oblíqua já cobre toda a largura da face. A edição de 2019 introduziu o termo $\varepsilon_{\beta,\max} = \min(\varepsilon_\beta, 1{,}0)$, limitando a razão de sobreposição a 1,0 para esse fator. Essa alteração reduz ligeiramente o valor de $Y_\beta$ para engrenagens helicoidais com elevados valores de $\varepsilon_\beta$, em comparação com a formulação de 2006, reconhecendo que uma sobreposição adicional além da cobertura total da face não proporciona redução adicional da tensão de flexão.

O que muitos engenheiros deixam passar: O limite inferior $Y_\beta \geq 0{,}75$ não constitui uma margem de segurança; ele representa o limite de validade experimental da formulação. Abaixo desse valor, o modelo deixa de ser considerado confiável e torna-se necessária a utilização do Método A. Assim, uma engrenagem com elevado ângulo de hélice $\beta$ e alta razão de sobreposição $\varepsilon_\beta$ que resulte naturalmente em $Y_\beta < 0{,}75$ pela equação deve adotar o valor mínimo de $0{,}75$. Isso torna o resultado conservador por construção, embora formalmente fora da faixa de validação do Método B.

$Y_B$ — Fator de Espessura do Aro

Significado físico: A ISO 6336-3 assume que o dente está apoiado sobre um aro de rigidez infinita — isto é, um corpo de engrenagem com espessura suficiente para que a deformação do aro não contribua para a tensão na raiz do dente. Em engrenagens de aro fino (engrenagens internas, engrenagens externas otimizadas em massa e segmentos de engrenagem), essa hipótese deixa de ser válida. O fator $Y_B$ corrige a tensão adicional provocada pela flexão do aro.

Formula (ISO 6336-3:2019, Clause 10):

$$Y_B = 1{,}6 \cdot \ln!\left(\frac{2{,}242}{\delta_B^\ast}\right) \quad \text{for } \delta_B^\ast < 1{,}2$$

$$Y_B = 1{,}0 \quad \text{for } \delta_B^\ast \geq 1{,}2$$

Onde $\delta_B^\ast = s_R / m_n$, sendo $s_R$ a espessura do aro medida abaixo do círculo de raiz.

A formulação logarítmica é válida para todo o intervalo $\delta_B^\ast < 1{,}2$ — não existe uma fórmula intermediária distinta. A equação é contínua em $\delta_B^\ast = 1{,}2$: $$Y_B = 1{,}6 \cdot \ln!\left(\frac{2{,}242}{1{,}2}\right) = 1{,}6 \cdot \ln(1{,}868) = 1{,}6 \times 0{,}625 = 1{,}000$$ A afirmação de que "$\delta_B^\ast < 0{,}5$ utiliza uma fórmula diferente", encontrada em algumas fontes secundárias, é incorreta — a mesma expressão é utilizada em todo o intervalo de validade.

Referência numérica — $Y_B$ em função da espessura do aro para $m_n = 5$ mm:

O escopo da norma exige $s_R > 0{,}5 \cdot h_t$ para engrenagens externas e $s_R > 1{,}75 \cdot m_n$ para engrenagens internas. Abaixo desses limites, a fratura do aro passa a governar o comportamento estrutural em vez da flexão do dente, tornando necessária uma análise por elementos finitos (FEA).

O que muitos engenheiros deixam passar: O valor $Y_B = 1{,}0$ não é uma hipótese padrão, mas o resultado do cálculo para $\delta_B^\ast \geq 1{,}2$. Para $m_n = 5$ mm, isso corresponde a uma espessura mínima de aro de $s_R \geq 6$ mm abaixo do círculo de raiz. Engrenagens anulares de sistemas planetários, engrenagens externas otimizadas em massa e segmentos de engrenagem frequentemente apresentam valores inferiores a esse limite e, portanto, exigem o cálculo explícito de $Y_B$. Um corpo de engrenagem que aparenta ser "maciço" pode, quando avaliado quantitativamente, apresentar $Y_B > 1{,}3$.

$Y_{DT}$ — Fator para Dentes Altos (Deep Tooth Factor)

Significado físico: Para engrenagens com $\varepsilon_\alpha > 2$ (engrenagens de alta razão de contato — HCR, High Contact Ratio), o dente nunca é carregado isoladamente — pelo menos dois pares de dentes permanecem simultaneamente em contato. O modelo padrão de $Y_F$ considera a carga aplicada na ponta do dente; entretanto, quando $\varepsilon_\alpha > 2$, o ponto determinante de aplicação da carga desloca-se para o interior do perfil do dente. O fator $Y_{DT}$ corrige o fator de forma para representar a posição real da carga no ponto interno da região estendida de contato duplo.

Para $\varepsilon_\alpha \leq 2$: $Y_{DT} = 1{,}0$ — aplica-se o modelo padrão com carga na ponta do dente.

Para $\varepsilon_\alpha > 2$: $Y_{DT} < 1{,}0$ — a carga é aplicada abaixo da ponta do dente, reduzindo o braço do momento fletor e, consequentemente, diminuindo $\sigma_{F0}$.

O que muitos engenheiros deixam passar: Este é o equivalente, na análise de flexão, aos fatores $Z_B$/$Z_D$ utilizados no cálculo de $S_H$. Em ambos os casos, o objetivo é deslocar a avaliação da tensão do ponto de referência simplificado (ponto primitivo ou ponta do dente) para o ponto determinante real de contato. Ambos os fatores são sistematicamente omitidos em cálculos simplificados. Para engrenagens de alta razão de contato (HCR, com $\varepsilon_\alpha > 2$), a omissão de $Y_{DT}$ conduz a um resultado conservador, pois superestima $\sigma_{F0}$. Já para engrenagens convencionais ($\varepsilon_\alpha \leq 2$), tem-se $Y_{DT} = 1{,}0$, de modo que sua omissão não introduz qualquer erro.

Parte II — Fatores de Carga para Flexão

Os fatores de carga para flexão são definidos na ISO 6336-1:2019 e possuem a mesma estrutura dos fatores de carga utilizados na análise de contato, porém com subscritos diferentes e, principalmente, com valores numéricos distintos para a distribuição de carga ao longo da largura da face.

$$\sigma_F = \sigma_{F0} \cdot K_A \cdot K_v \cdot K_{F\beta} \cdot K_{F\alpha}$$

Os fatores $K_A$ e $K_v$ possuem exatamente o mesmo valor tanto para $S_H$ quanto para $S_F$ em um mesmo cálculo. Já $K_{F\beta}$ e $K_{F\alpha}$ diferem de $K_{H\beta}$ e $K_{H\alpha}$ para um mesmo par de engrenagens.

$K_{F\beta}$ vs. $K_{H\beta}$ — A Diferença que Quase Sempre É Ignorada

Fundamento físico da diferença: $K_{H\beta}$ quantifica a não uniformidade da distribuição de carga na superfície de contato dos flancos dos dentes. Já $K_{F\beta}$ quantifica a não uniformidade da distribuição de carga na seção da raiz do dente. Essas distribuições não são idênticas porque o dente sofre deformação por flexão sob carga, modificando a distribuição de esforços na raiz em relação àquela observada na superfície de contato.

Relação (ISO 6336-1:2019):

$$K_{F\beta} = \left(K_{H\beta}\right)^{N_F}$$

Onde $N_F$ é um expoente dependente da forma da distribuição de carga ao longo da largura da face. Fontes secundárias citam valores típicos entre $1/3$ e $1$, conforme a distribuição seja aproximadamente triangular ou retangular. Entretanto, esse intervalo não foi confirmado de forma independente em relação ao texto normativo da ISO 6336-1:2019 no contexto deste artigo. Portanto, ele deve ser tratado apenas como uma referência plausível de ordem de grandeza, e não como um limite normativo verificado.

Na maioria das engrenagens de aplicação prática: $K_{F\beta} < K_{H\beta}$. Essa diferença aumenta à medida que a distribuição de carga assume uma forma mais triangular, isto é, quando uma extremidade da largura da face suporta significativamente mais carga do que a outra.

O que muitos engenheiros deixam passar: Utilizar diretamente $K_{H\beta} = K_{F\beta}$ — assumindo que as distribuições de carga no flanco e na raiz são idênticas — é incorreto e conduz a resultados conservadores. Embora o erro seja pequeno em engrenagens bem alinhadas, em engrenagens largas sujeitas a desalinhamento, nas quais $K_{H\beta}$ assume valores elevados, esse conservadorismo pode aumentar $\sigma_F$ entre 10% e 15%. Mais importante ainda, qualquer software que utilize $K_{H\beta}$ em ambas as posições não está em conformidade com a ISO 6336-1:2019.

$K_{F\alpha}$ — Fator de Distribuição Transversal de Carga (Flexão)

Esse fator possui o mesmo fundamento físico de $K_{H\alpha}$ — a distribuição não uniforme da carga entre pares de dentes no plano transversal — porém é avaliado na seção da raiz do dente, e não na superfície do flanco. Para engrenagens dentro da faixa de qualidade prevista pela norma e com $\varepsilon_\alpha \leq 2$, normalmente $K_{F\alpha} \approx K_{H\alpha}$. Já para engrenagens de alta razão de contato (HCR, com $\varepsilon_\alpha > 2$), os dois fatores deixam de ser equivalentes e devem ser calculados separadamente.

Parte III — Tensão Admissível na Raiz do Dente $\sigma_{FP}$

$$\sigma_{FP} = \sigma_{F\lim} \cdot Y_{ST} \cdot Y_{NT} \cdot \frac{Y_{\delta,\text{rel}T} \cdot Y_{R,\text{rel}T}}{S_{F\lim}} \cdot Y_X$$

$\sigma_{F\lim}$ — Número de Tensão Nominal (Flexão)

Significado físico: O limite de fadiga à flexão da raiz do dente é determinado por meio de ensaios padronizados de flexão em dentes de engrenagens, realizados para o número de ciclos de referência ($3 \times 10^6$ ciclos para flexão, conforme a ISO 6336-5:2016). As engrenagens de ensaio possuem geometria padronizada: $m_n = 3$–$5$ mm, $z = 16$–$24$, $x = 0$, filete da raiz retificado e rugosidade de referência $R_{z10} = 10$ µm.

Os valores da ISO 6336-5:2016 (Método B, qualidade MQ) são obtidos por leitura aproximada das curvas, uma vez que a norma publica $\sigma_{F\lim}$ na forma de curvas S-N (Figuras 1 a 16), e não como uma tabela discreta. Em qualquer cálculo de projeto, as curvas da própria norma devem ser utilizadas diretamente.

Observação sobre a linha NT: A ISO 6336-5:2016 estabelece explicitamente um limite máximo de $\sigma_{F\lim}$ de 340 MPa para pelo menos uma das subclasses de materiais nitretados na qualidade MQ (250 MPa para ML). Trata-se de um limite normativo, e não do valor médio de uma faixa. A norma apresenta curvas distintas para aços nitretados, aços forjados nitretados e aços nitrocarbonetados (Figuras 12, 14 e 16), e este artigo não confirmou a qual dessas três categorias correspondia a faixa de 340–430 MPa originalmente apresentada. Antes de utilizar $\sigma_{F\lim}$ em um cálculo, o valor deve ser obtido diretamente da figura correspondente ao processo real de nitretação especificado na ISO 6336-5:2016. Não utilize um valor tabelado para selecionar a qualidade NT.

$\sigma_{FE}$ — O segundo parâmetro de resistência à flexão que a maioria dos engenheiros nunca utilizou

A ISO 6336-5:2016 fornece dois parâmetros de resistência à flexão para cada material: $\sigma_{F\lim}$ e $\sigma_{FE}$. A distinção entre eles é fundamental e raramente é explicada na literatura técnica.

$\sigma_{F\lim}$ representa o limite de fadiga à flexão da engrenagem de ensaio entalhada , isto é, com a geometria real do filete da raiz e sua rugosidade superficial. Esse valor já incorpora o efeito de concentração de tensões existente na engrenagem de referência.

Por outro lado, $\sigma_{FE}$ representa o limite de fadiga à flexão de um corpo de prova sem entalhe do mesmo material. Trata-se da resistência intrínseca do material à fadiga por flexão, independente da geometria do dente.

$$\sigma_{FE} = \sigma_{F\lim} \cdot Y_{ST}$$

Para todos os materiais: $\sigma_{FE} = \sigma_{F\lim} \times 2{,}0$.

Essa relação é a origem de $Y_{ST} = 2{,}0$: ele corresponde exatamente à razão $\sigma_{FE} / \sigma_{F\lim}$ para a geometria da engrenagem de ensaio de referência. Em essência, a expressão da tensão admissível converte inicialmente $\sigma_{F\lim}$ em $\sigma_{FE}$ por meio de $Y_{ST}$ e, posteriormente, reaplica a correção correspondente ao entalhe da engrenagem real por intermédio de $Y_S$ presente em $\sigma_{F0}$, obtendo assim a tensão admissível apropriada para a geometria efetiva da raiz do dente.

A ISO 6336-3 também permite utilizar diretamente $\sigma_{FE}$ como propriedade básica do material. Nesse caso, a formulação passa a ser:

$$\sigma_{FP} = \sigma_{FE} \cdot Y_{NT} \cdot \frac{Y_{\delta,\text{rel}T} \cdot Y_{R,\text{rel}T}}{S_{F\lim}} \cdot Y_X$$

e o fator $Y_{ST}$ deixa de aparecer explicitamente, pois já está incorporado em $\sigma_{FE}$ por definição. As duas formulações são rigorosamente equivalentes. A forma baseada em $\sigma_{FE}$ aparece em alguns softwares e em anexos da ISO 6336-3. Sem esse contexto, muitos engenheiros interpretam equivocadamente essa expressão como um método de cálculo diferente.

Assimetria fundamental em relação a $\sigma_{H\lim}$: A base experimental da resistência à fadiga de contato utiliza ensaios de contato por rolamento entre discos (disc-on-disc), enquanto a resistência à flexão é determinada por ensaios de flexão em dentes de engrenagens carregados em balanço. Consequentemente, a classificação dos materiais não é a mesma para os dois modos de falha. Essa diferença é particularmente evidente em engrenagens cementadas: $\sigma_{H\lim}$ aumenta significativamente com a cementação, pois o contato ocorre diretamente na superfície endurecida. Já $\sigma_{F\lim}$ apresenta um ganho relativamente menor, uma vez que a falha crítica por flexão tende a se iniciar na região da interface entre a camada cementada e o núcleo, onde a dureza e as tensões residuais compressivas são inferiores às encontradas na superfície.

$Y_{ST}$ — Fator de Correção de Tensão para a Engrenagem de Ensaio de Referência

Esta é a constante estruturalmente mais importante no cálculo de $S_F$ — e aquela cuja fundamentação física quase nunca é explicitada.

Derivação: $Y_{ST} = \sigma_{FE} / \sigma_{F\lim} = 2{,}0$ para a geometria da engrenagem de ensaio de referência. A ISO 6336-5:2016 estabelece esse valor como uma das condições de referência definidas para a engrenagem de ensaio (§5.3.3), juntamente com $\beta = 0^\circ$, $m_n = 3$–$5$ mm, parâmetro de entalhe $q_s = 2{,}5$, $R_{z10} = 10$ µm e $K_A = K_v = K_{F\beta} = K_{F\alpha} = 1{,}0$. O valor $Y_{ST} = 2{,}0$ é declarado diretamente nas condições normativas de referência; ele não é um valor rederivado neste artigo a partir da formulação de $Y_S$ e não deve ser apresentado dessa forma.

Função estrutural: Em ISO 6336-5, $\sigma_{F\lim}$ é um resultado de ensaio obtido em um corpo de prova entalhado (notched test result); portanto, ele já incorpora o efeito da concentração de tensões da engrenagem de ensaio de referência. Para aplicá-lo à sua engrenagem, cuja geometria de raiz e, consequentemente, cujo fator $Y_S$ são diferentes, é necessário:

1. Recuperar a resistência do material sem o efeito do entalhe: $\sigma_{FE} = \sigma_{F\lim} \times Y_{ST} = \sigma_{F\lim} \times 2{,}0$
2. Aplicar a correção correspondente ao entalhe real da engrenagem: O fator $Y_S$ entra em $\sigma_{F0}$ no cálculo da tensão aplicada.

A razão $S_F=\frac{\sigma_{FP}}{\sigma_F}$ passa então a conter o produto \sigma_{F\lim}\cdot Y_{ST}$ no numerador e $Y_F \cdot Y_S$ no denominador. A segurança efetiva à flexão é:

$$S_F \propto \frac{\sigma_{F\lim} \cdot 2{,}0}{Y_F \cdot Y_S} \propto \frac{\sigma_{FE}}{Y_F \cdot Y_S}$$

Dessa forma, a segurança à flexão efetivamente representa a resistência do material sem o efeito do entalhe dividida pela tensão na raiz do dente da engrenagem real, já afetada pelo entalhe. O cálculo somente mantém coerência física quando $Y_{ST}$ está presente.

O que muitos engenheiros deixam passar — a omissão catastrófica: $Y_{ST}=2{,}0$ é uma constante fixa, independente do material, do módulo, do tratamento térmico e da geometria da engrenagem. Seu valor nunca se altera. Softwares ou planilhas que omitem esse fator produzem valores de $\sigma_{FP}$ exatamente iguais à metade do valor correto, resultando em valores de $S_F$ aproximadamente iguais à metade do valor real. Como consequência, o projeto aparenta reprovar no critério de resistência quando, na realidade, atende aos requisitos. O resultado não é uma engrenagem insegura, mas sim uma engrenagem superdimensionada e excessivamente pesada, decorrente de uma aplicação fundamentalmente incorreta do modelo normativo.

$Y_{NT}$ — Fator de Vida (Flexão)

Significado físico: Corrige $\sigma_{F\lim}$ para operação em números de ciclos diferentes do valor de referência $N_{ref}=3 \times 10^6$ ciclos. Implementa a curva S-N de Wöhler para fadiga por flexão na raiz do dente.

Valores característicos (ISO 6336-3:2019, Método B — leituras aproximadas das curvas; a norma fornece curvas S-N gráficas, e não uma tabela discreta. Para qualquer cálculo de projeto, as curvas normativas devem ser utilizadas diretamente):

A assimetria entre os aços cementados (Eh) e os aços nitretados (NT) em $N_L = 10^5$ — 1,46 contra 1,22 — indica que engrenagens cementadas suportam sobrecargas significativamente maiores no regime de vida curta. Em avaliações de carga de prova (proof load) ou de ciclos de partida (startup cycles), a especificação de material cementado oferece uma vantagem dupla: maior $\sigma_{F\lim}$ de base e maior valor de $Y_{NT}$ em baixos números de ciclos.

Observação crítica sobre resistência à flexão e resistência ao contato:

Para a resistência à flexão ($Y_{NT}$), o patamar de longa vida igual a 1,0 é considerado válido para todas as classes de materiais no Método B. Isso contrasta com a resistência ao contato ($Z_{NT}$), na qual engrenagens cementadas apresentam $Z_{NT}<1{,}0$ em regimes de vida muito longa. A curva S-N para flexão apresentada na ISO 6336-3 possui um ramo horizontal após $N_{ref}$ para todos os materiais.

Entretanto, essa característica representa uma simplificação do modelo, e não uma certeza física. Evidências experimentais recentes (literatura de 2022–2025) mostram que engrenagens cementadas podem apresentar redução da resistência à fadiga por flexão acima de $10^8$ ciclos quando ocorre fretting na região do raio de concordância da raiz do dente (root fillet). A ISO 6336-3:2019 ainda não incorpora esse efeito; ele permanece no domínio da pesquisa, e não no domínio normativo. Assim, adotar $Y_{NT}=1{,}0$ para longa vida no Método B continua sendo a abordagem normativamente correta, embora esse ponto deva ser reconhecido como um possível candidato a revisão em futuras edições da norma.

Sensibilidade em vida curta: Em $N_L=10^5$ (ensaios de partida e cargas de prova), $Y_{NT}$ atinge 1,46 para aços cementados e 1,22 para aços nitretados. Essa assimetria entre as classes de materiais no regime de vida curta é relevante para a avaliação de caixas de transmissão submetidas a ciclos de comprovação (proving cycles).

$Y_{\delta,\mathrm{rel}T}$ — Fator Relativo de Sensibilidade ao Entalhe

Significado físico: A fadiga na raiz do dente é um problema clássico de fadiga em entalhes. A concentração de tensões no raio de concordância da raiz (fillet) gera um gradiente de tensões que influencia a iniciação de trincas de maneira distinta em diferentes materiais. Materiais de alta resistência são mais sensíveis à presença de entalhes do que materiais de menor resistência, conforme o efeito clássico de Neuber (Kerbwirkung). O fator $Y_{\delta,\mathrm{rel}T}$ corrige a diferença de sensibilidade ao entalhe entre o material da engrenagem real e o material da engrenagem de ensaio de referência.

Formula (ISO 6336-3:2019, Clause 13):

$$Y_{\delta,\text{rel}T} = \frac{Y_{\delta T}}{Y_{\delta ST}}$$

Onde $Y_{\delta T}$ é o fator de sensibilidade ao entalhe da engrenagem real (calculado a partir da resistência à tração do material, $\sigma_B$, e do parâmetro de entalhe $q_s$), e $Y_{\delta ST}$ é o fator correspondente para a engrenagem de ensaio de referência.

O termo "relativo" é fundamental: Tanto a engrenagem real quanto a engrenagem de ensaio são avaliadas com seus respectivos valores de $q_s$, e somente a razão entre esses fatores é utilizada no cálculo. Assim, $Y_{\delta,\mathrm{rel}T}$ é insensível à qualidade absoluta do entalhe; ele representa exclusivamente a diferença entre as geometrias de entalhe da engrenagem real e da engrenagem de referência, em combinação com a sensibilidade do material ao entalhe.

O que muitos engenheiros deixam passar: Engrenagens cementadas apresentam elevada resistência à tração na camada cementada ($\sigma_B > 1200$ MPa na superfície), porém a sensibilidade ao entalhe na interface entre a camada cementada e o núcleo difere daquela observada na superfície. A norma utiliza a resistência à tração do material em massa (bulk material tensile strength) para determinar $Y_{\delta T}$, o que constitui uma abordagem conservadora para engrenagens com endurecimento superficial, pois aplica a elevada sensibilidade associada ao material de alta resistência a toda a seção transversal da raiz do dente. Alguns pesquisadores defendem que $Y_{\delta,\mathrm{rel}T}$ deveria ser calculado com propriedades específicas da camada cementada; entretanto, a ISO 6336-3:2019 não prevê essa diferenciação.

$Y_{R,\mathrm{rel}T}$ — Fator Relativo de Estado Superficial

Significado físico: A iniciação de trincas por fadiga na raiz do dente é um fenômeno superficial. A rugosidade da superfície no raio de concordância da raiz (root fillet) gera microentalhes que reduzem o limite de fadiga. O fator $Y_{R,\mathrm{rel}T}$ corrige a diferença de rugosidade da superfície da raiz entre a engrenagem real e a engrenagem de ensaio de referência.

Condição normativa de referência: A engrenagem de ensaio de referência da ISO 6336-5 possui o raio de concordância da raiz retificado (ground root fillet) com $R_{z10}=10$ µm, em que $R_{z10}$ representa a rugosidade média de dez pontos ao longo do passo, não devendo ser confundida com $R_a$ ou $R_z$ obtidos em uma única medição. Trata-se de uma rugosidade deliberadamente intermediária: nem polida, nem proveniente de um processo de geração por fresa-mãe (hobbing) com acabamento grosseiro. Valores superiores a 10 µm reduzem $Y_{R,\mathrm{rel}T}$ para abaixo de 1,0, enquanto valores inferiores a 10 µm o elevam acima de 1,0.

Valores característicos (aproximados e apenas ilustrativos — não verificados de forma independente em relação à fórmula da Cláusula 14 da ISO 6336-3:2019. A norma define $Y_{R,\mathrm{rel}T}$ por uma expressão dependente da resistência do material, e não por uma tabela fixa.)

Shot peening — o tratamento não contemplado na tabela acima: O shot peening da raiz do dente introduz tensões residuais compressivas na superfície, compensando parcialmente as tensões de flexão trativas durante o engrenamento. A ISO 6336-3:2019 não incorpora esse efeito diretamente em $Y_{R,\mathrm{rel}T}$, pois o modelo do fator de rugosidade considera apenas aspectos geométricos, sem levar em conta tensões residuais. Algumas normas de aplicação, particularmente para transmissões eólicas e aeroespaciais, permitem considerar um fator de benefício do shot peening, desde que respaldado por ensaios específicos do material. Quando esse tratamento é empregado, o Método B da ISO 6336-3:2019 deixa de ser suficiente; torna-se necessária uma campanha de ensaios pelo Método A, específica para o material e para o processo de shot peening utilizado.

O que muitos engenheiros deixam passar: Na maioria dos desenhos de fabricação de engrenagens especifica-se apenas a rugosidade dos flancos ($R_a$ no perfil do dente), enquanto a rugosidade do raio de concordância da raiz permanece sem especificação. Entretanto, o raio de concordância é usinado pela ponta da ferramenta de corte, cujo desgaste evolui de forma diferente daquele observado nas arestas responsáveis pela geração dos flancos. Uma ponta de fresa-mãe desgastada produz um raio de concordância mais rugoso, reduzindo $Y_{R,\mathrm{rel}T}$ e, consequentemente, diminuindo diretamente $\sigma_{FP}$, sem que ocorra qualquer degradação perceptível do perfil do flanco capaz de reprovar uma inspeção conforme a ISO 1328. Especificar em desenho um requisito como $R_{z10,\mathrm{raiz}} \leq 6$ µm e verificá-lo com um rugosímetro diretamente no raio de concordância da raiz constitui uma exigência objetiva, verificável e plenamente compatível com o método de cálculo da ISO 6336.

$Y_X$ — Size Factor (Bending)

Significado físico: Representa o efeito estatístico do tamanho na resistência à fadiga por flexão. Volumes maiores de material na seção transversal da raiz do dente apresentam maior probabilidade de conter descontinuidades ou defeitos que reduzem a resistência à fadiga. É o fator análogo ao $Z_X$ utilizado para a resistência ao contato.

Valores característicos (ISO 6336-3:2019, Cláusula 15 — aproximados e apenas ilustrativos; não verificados de forma independente em relação à curva normativa apresentada na norma):

$Y_X = 1{,}0$ para $m_n \leq 5$ mm, independentemente da classe de material, no Método B. Para engrenagens industriais de grande módulo, a redução introduzida por $Y_X$ deixa de ser desprezível e se acumula com a influência dos demais fatores de correção, reduzindo a resistência admissível à flexão.

Parte IV — Montagem do Cálculo Completo de $S_F$

Etapa 1 — Geometria (igual ao cálculo de $S_H$, com parâmetros adicionais da raiz)

Calcule todas as dimensões geométricas padrão e, adicionalmente, os parâmetros $s_{Fn}$, $\rho_F$, $h_{Fe}$ e $\alpha_{Fen}$ para o pinhão e a roda. Esses parâmetros dependem da ferramenta de fabricação — fresa-mãe (hob) ou ferramenta de shaping — e devem ser calculados para o processo de fabricação efetivamente utilizado.

$$z_{n} = \frac{z}{\cos^3\beta_b} \quad \text{(número virtual de dentes para engrenagens helicoidais)}$$

Etapa 2 — Fatores de forma e de correção de tensão

$$Y_F = \frac{6(h_{Fe}/m_n)\cos\alpha_{Fen}}{(s_{Fn}/m_n)^2 \cos\alpha_n} \cdot \frac{1}{f_\varepsilon}$$

$$Y_S = \left(1{,}2 + \frac{0{,}13 s_{Fn}/m_n}{\rho_F/m_n}\right) \cdot q_s^{0{,}389 + 0{,}0125(s_{Fn}/m_n)^2/(\rho_F/m_n)}$$

Calcule $Y_F$ e $Y_S$ para o pinhão e para a roda. Identifique a engrenagem determinante, isto é, aquela que apresenta o maior produto $Y_F \cdot Y_S$.

Etapa 3 — Demais fatores geométricos

$$Y_\beta = 1 – \min(\varepsilon_\beta, 1{,}0) \cdot \frac{\beta^\circ}{120°} \geq 0{,}75$$

$$Y_B: \text{calculado a partir de} \delta_B^\ast = s_R/m_n$$

$$Y_{DT}: = 1{,}0 \text{ for } \varepsilon_\alpha \leq 2; \text{ calcule para engrenagens HCR}$$

Etapa 4 — Tensão nominal na raiz do dente

$$\sigma_{F0} = \frac{F_t}{b \cdot m_n} \cdot Y_F \cdot Y_S \cdot Y_\beta \cdot Y_B \cdot Y_{DT}$$

Etapa 5 — Fatores de carga (ISO 6336-1:2019)

$K_A$: igual ao utilizado no cálculo de $S_H$. $K_v$: igual ao utilizado no cálculo de $S_H$. $K_{F\beta}=(K_{H\beta})^{N_F}$: não substitua diretamente $K_{H\beta}$ por $K_{F\beta}$. $K_{F\alpha}$: calcule a partir dos erros de passo; para engrenagens HCR, esse fator deve ser determinado separadamente de $K_{H\alpha}$.

Etapa 6 — Tensão calculada na raiz do dente

$$\sigma_F = \sigma_{F0} \cdot K_A \cdot K_v \cdot K_{F\beta} \cdot K_{F\alpha}$$

Calcule separadamente a tensão na raiz do dente do pinhão ($\sigma_{F1}$) e da roda ($\sigma_{F2}$).

Etapa 7 — Tensão admissível na raiz do dente

Selecione $\sigma_{F\lim}$ na ISO 6336-5:2016 de acordo com o material e a classe de qualidade de cada engrenagem. Em seguida: aplique $Y_{ST}=2{,}0$ (constante fixa e de aplicação obrigatória); obtenha $Y_{NT}$ para o número de ciclos $N_L$; calcule $Y_{\delta,\mathrm{rel}T}$ em função do material e do parâmetro de entalhe $q_s$; determine $Y_{R,\mathrm{rel}T}$ a partir da rugosidade $R_z$ medida na raiz do dente; aplique $Y_X$ para o módulo normal efetivo $m_n$.

$$\sigma_{FP} = \sigma_{F\lim} \cdot Y_{ST} \cdot Y_{NT} \cdot \frac{Y_{\delta,\text{rel}T} \cdot Y_{R,\text{rel}T}}{S_{F\lim}} \cdot Y_X$$

Etapa 8 — Fatores de segurança

$$S_{F1} = \frac{\sigma_{FP1}}{\sigma_{F1}} \qquad S_{F2} = \frac{\sigma_{FP2}}{\sigma_{F2}}$$

Ambos devem satisfazer $S_{F1}, S_{F2} \geq 1{,}0$.

Posicionamento de $S_{F\lim}$: Assim como ocorre para $S_{H\lim}$, o fator mínimo de segurança é aplicado no denominador de $\sigma_{FP}$. Consequentemente, o fator de segurança calculado $S_F$ deve satisfazer a condição $S_F \geq 1{,}0$, e não $S_F \geq S_{F\lim}$. Aplicar $S_{F\lim}$ uma segunda vez constitui um erro conceitual na formulação do cálculo.

Parte V — Exemplo Numérico: Mesmo Par de Engrenagens do Artigo sobre $S_H$

Utilizando o mesmo par de engrenagens cilíndricas de dentes retos para comparação direta: $m_n = 2{,}5$ mm, $z_1 = 20$, $z_2 = 40$, $\beta = 0°$, $x_1 = x_2 = 0$, $b = 25$ mm, $T_1 = 80$ N·m, $n_1 = 1{,}500$ rpm, $K_A = 1{,}25$, geradas por hob, $s_R > 3 \cdot m_n$ para ambas as engrenagens ($Y_B = 1{,}0$).

Geometria do pé do dente (gerada por hob, Perfil Básico de Cremalheira ISO 53 Tipo A: $h_{a0}/m_n = 1{,}0$, $\rho_{a0}/m_n = 0{,}38$):

Nota metodológica: os parâmetros $s_{Fn}$, $\rho_F$, $h_{Fe}$ e $\alpha_{Fen}$ apresentados a seguir são fornecidos como dados de entrada, não sendo deduzidos manualmente neste exemplo. Sua obtenção requer a resolução da construção de tangência do filete trocoidal descrita na Cláusula 6.2.2 — o ponto em que o raio da ponta do hob $\rho_{a0}$ encontra o flanco gerado — que constitui uma construção paramétrica e iterativa, e não uma expressão algébrica em forma fechada. Essa construção é exatamente o problema que o motor de cálculo do Qevork resolve numericamente para a cremalheira real de fabricação em cada cálculo. Reproduzi-la manualmente em um exemplo numérico substituiria uma derivação efetiva por outra impossível de verificar. A cremalheira é fixada em $h_{a0}/m_n = 1{,}0$ especificamente porque este é o valor assumido na dedução anterior deste artigo para o resultado $z_{\min} \approx 17$. Como $z_1 = 20 > z_{\min}$, confirma-se que o pinhão está fora da região de undercut, permitindo a aplicação da fórmula de $Y_F$ do Método B sem qualquer ressalva. A partir deste ponto, todos os parâmetros — $Y_F$, $Y_S$, $\sigma_{F0}$, $\sigma_F$ e $S_F$ — são derivados e verificados de forma independente.

Pinhão ($z_1 = 20$, $x_1 = 0$): $$s_{Fn1}/m_n \approx 1{,}66 \quad \rho_{F1}/m_n \approx 0{,}36 \quad h_{Fe1}/m_n \approx 2{,}01 \quad \alpha_{Fe1} \approx 20{,}3°$$

$$q_{s1} = \frac{1{,}66}{2 \times 0{,}36} = 2{,}31$$

$$Y_{F1} = \frac{6 \times 2{,}01 \times \cos 20{,}3°}{(1{,}66)^2 \times \cos 20°} = \frac{6 \times 2{,}01 \times 0{,}939}{2{,}756 \times 0{,}940} = \frac{11{,}33}{2{,}590} = 4{,}37$$

$$Y_{S1} = \left(1{,}2 + \frac{0{,}13 \times 1{,}66}{0{,}36}\right) \times 2{,}31^{0{,}389 + 0{,}0125 \times 1{,}66^2/0{,}36} = 1{,}799 \times 2{,}31^{0{,}4847} = 1{,}799 \times 1{,}500 = 2{,}699$$

Roda ($z_2 = 40$, $x_2 = 0$): $$s_{Fn2}/m_n \approx 1{,}73 \quad \rho_{F2}/m_n \approx 0{,}37 \quad h_{Fe2}/m_n \approx 1{,}97 \quad \alpha_{Fe2} \approx 20{,}2°$$

$$q_{s2} = \frac{1{,}73}{2 \times 0{,}37} = 2{,}338$$

$$Y_{F2} = \frac{6 \times 1{,}97 \times \cos 20{,}2°}{(1{,}73)^2 \times \cos 20°} = \frac{6 \times 1{,}97 \times 0{,}9385}{2{,}9929 \times 0{,}9397} = \frac{11{,}09}{2{,}812} = 3{,}944$$

$$Y_{S2} = \left(1{,}2 + \frac{0{,}13 \times 1{,}73}{0{,}37}\right) \times 2{,}338^{0{,}389 + 0{,}0125 \times 1{,}73^2/0{,}37} = 1{,}808 \times 2{,}338^{0{,}4901} = 1{,}808 \times 1{,}516 = 2{,}741$$

Engrenagem determinante: $Y_{F1} \cdot Y_{S1} = 4{,}37 \times 2{,}699 = 11{,}79$ vs $Y_{F2} \cdot Y_{S2} = 3{,}944 \times 2{,}741 = 10{,}81$. O pinhão é o elemento determinante, conforme esperado para uma geometria padrão com $z_1 < z_2$.

Tensão nominal:

$$F_t = 3{,}200\ \text{N} \qquad \frac{F_t}{b \cdot m_n} = \frac{3{,}200}{25 \times 2{,}5} = 51{,}2\ \text{N/mm}^2$$

$$\sigma_{F0,1} = 51{,}2 \times 4{,}37 \times 2{,}699 \times 1{,}0 \times 1{,}0 \times 1{,}0 = 51{,}2 \times 11{,}79 = 603{,}9\ \text{MPa}$$

Fatores de carga:

$$K_v \approx 1{,}12 \quad K_{F\beta} = (K_{H\beta})^{N_F} = (1{,}15)^{0{,}7} \approx 1{,}103 \quad K_{F\alpha} \approx 1{,}04$$

$$\sigma_{F1} = 603{,}9 \times 1{,}25 \times 1{,}12 \times 1{,}103 \times 1{,}04 = 603{,}9 \times 1{,}606 = 969{,}9\ \text{MPa}$$

Tensão permissível — pinhão (cementado, MQ, $N_L = 10^8$):

$\sigma_{F\lim,1} = 460$ MPa, $Y_{ST} = 2{,}0$, $Y_{NT} = 1{,}0$ ($N_L > 3 \times 10^6$, ramo horizontal para Eh), $Y_{\delta,\text{rel}T} \approx 1{,}00$, $Y_{R,\text{rel}T} \approx 1{,}00$ (referência $R_z = 10$ µm), $Y_X = 1{,}0$ ($m_n = 2{,}5$ mm).

$$\sigma_{FP1} = 460 \times 2{,}0 \times 1{,}0 \times \frac{1{,}00 \times 1{,}00}{1{,}0} \times 1{,}0 = 920\ \text{MPa}$$

Fator de segurança

$$S_{F1} = \frac{920}{969{,}9} = 0{,}949 \quad \text{— FAIL}$$

O fator de segurança à flexão do pinhão está abaixo de 1,0 por uma margem de 5%. O cálculo de $S_H$ (artigo complementar) mostrou um fator de segurança ao contato do pinhão igual a $S_{H1} = 1{,}344$ — a engrenagem que atende ao critério de contato falha no critério de flexão. Esse resultado evidencia a exigência de cálculo simultâneo: tanto $S_H \geq 1{,}0$ quanto $S_F \geq 1{,}0$ devem ser satisfeitos de forma independente.

Intervenções corretivas para a resistência à flexão:

1. Retífica do pé do dente $Y_{R,\text{rel}T}$ aumenta de 1,00 para aproximadamente 1,15 (pé do dente retificado, $R_z \approx 2$ µm): $$\sigma_{FP1} = 460 \times 2{,}0 \times 1{,}0 \times \frac{1{,}00 \times 1{,}15}{1{,}0} \times 1{,}0 = 1{,}058\ \text{MPa}$$ $$S_{F1} = \frac{1{,}058}{969{,}9} = \mathbf{1{,}091} \quad \checkmark$$ Nenhuma alteração na geometria. Nenhum material adicional. O fator $S_F$ aumenta exatamente 15% — essa razão é exata, e não aproximada, porque $\sigma_F$ permanece inalterada por essa intervenção e $\sigma_{FP} \propto Y_{R,\text{rel}T}$ diretamente ($1{,}15/1{,}00 = 1{,}15$).
2. Aumentar $m_n$ para 3,0 mm — reduz $F_t/(b \cdot m_n)$ pelo fator $2{,}5/3{,}0 = 0{,}833$ e modifica favoravelmente $Y_F$ e $Y_S$ (maior $\rho_F$). Requer o recálculo completo da geometria.
3. Aumentar a largura de face $b$ — reduz $F_t/(b \cdot m_n)$ linearmente. Também reduz $K_{F\beta}$ em razão da diminuição da relação $b/d_1$. O efeito combinado é superior ao proporcional.
4. Aplicar deslocamento positivo de perfil $x_1 > 0$ aumenta $\rho_F$, reduz $q_s$ e $Y_S$. Devem ser verificados os limites de interferência e a alteração em $\varepsilon_\alpha$.

A retífica do pé do dente (intervenção 1) é a medida de maior impacto para este caso específico: nenhuma alteração geométrica, nenhum custo adicional de material e um aumento normativo imediato de 15% em $S_F$, obtido por meio de uma única especificação adicional no desenho de fabricação.

Parte VI — Os Seis Erros de Cálculo que Ocorrem na Prática

Erro 1: Omitir $Y_{ST} = 2{,}0$ de $\sigma_{FP}$. O fator é uma constante obrigatória na fórmula da tensão permissível. Omiti-lo reduz $\sigma_{FP}$ à metade e produz fatores de segurança aproximadamente iguais à metade do valor correto. Isso produz projetos excessivamente conservadores — mas ainda assim é um erro que indica uma compreensão incorreta da normalização da engrenagem de teste.

Erro 2: Utilizar $K_{H\beta}$ em lugar de $K_{F\beta}$. $K_{F\beta} = (K_{H\beta})^{N_F}$. Como $N_F 1$, segue-se que $K_{F\beta} < K_{H\beta}$ sempre. Para $K_{H\beta} = 1{,}4$ e $N_F = 0{,}7$: $K_{F\beta} = 1{,}4^{0{,}7} \approx 1{,}27$. Utilizar $1{,}4$ em vez de $1{,}27$ superestima $\sigma_F$ em aproximadamente 10% — um erro conservador (penaliza excessivamente a tensão de flexão, produzindo um $S_F$ inferior ao valor correto). O erro não está em conformidade com a ISO 6336-1:2019 e desperdiça a capacidade de material, mas não produz projetos não conservadores. A distinção é importante quando $S_F$ é marginal e um projeto é rejeitado com base em uma $\sigma_F$ calculada em excesso.

Erro 3: Não identificar a engrenagem determinante por meio de $Y_F \cdot Y_S$. Supor que o pinhão seja sempre a engrenagem determinante para a flexão está incorreto quando a roda possui menor deslocamento de perfil ou uma geometria de ferramenta diferente. Calcule explicitamente $Y_{F1} \cdot Y_{S1}$ e $Y_{F2} \cdot Y_{S2}$ e, em seguida, identifique qual deles é maior. Apresente $S_F$ para ambas as engrenagens.

Erro 4: Utilizar $Y_F$, $Y_S$ baseados em hob para engrenagens produzidas com shaper cutter. A edição de 2019 acrescentou procedimentos específicos para a geometria da shaper cutter (Cláusulas 6.2.4/6.2.5). Para engrenagens fabricadas com shaper cutter, $\rho_F$ é determinado pela geometria da ferramenta de corte, e não pela cremalheira do hob. Aplicar a geometria do pé do dente baseada em hob a uma engrenagem produzida com shaper cutter subestima $Y_S$ e, consequentemente, subestima $\sigma_{F0}$.

Erro 5: Aplicar o $N_{ref}$ incorreto para a curva S-N de flexão. Para contato: $N_{ref} = 5 \times 10^7$ ciclos. Para flexão: $N_{ref} = 3 \times 10^6$ ciclos. A vida de referência para flexão é menor por um fator de aproximadamente 17. Aplicar o $N_{ref}$ de contato ao fator de vida de flexão — ou utilizar uma tabela de $Y_{NT}$ obtida da seção de contato — produz uma determinação incorreta do escalonamento de vida para o cálculo de flexão. As duas curvas S-N possuem pontos de referência diferentes.

Erro 6: Tratar $\sigma_{FE}$ e $\sigma_{F\lim}$ como intercambiáveis. A ISO 6336-5 fornece ambos os valores. $\sigma_{FE} = \sigma_{F\lim} \times 2{,}0$ por definição. A fórmula da tensão permissível utiliza $\sigma_{F\lim} \cdot Y_{ST}$ — que é igual a $\sigma_{FE}$. Se um cálculo parte de $\sigma_{FE}$ (algumas saídas de software apresentam inicialmente esse valor), $Y_{ST}$ não deve ser aplicado novamente — ele já está incorporado. Partindo de $\sigma_{F\lim}$, é necessário utilizar $Y_{ST} = 2{,}0$. Partindo de $\sigma_{FE}$, não. Utilizar o valor inicial incorreto e aplicar $Y_{ST}$ independentemente produz uma superestimação ou subestimação de $\sigma_{FP}$ por um fator de 2.

Conclusão

$S_F$ e $S_H$ são fatores de segurança independentes contra modos de falha independentes. Uma engrenagem que atende a um pode falhar no outro. Ambos devem ser calculados, tanto para o pinhão quanto para a roda, antes que qualquer projeto de par de engrenagens seja considerado completo.

O núcleo estrutural da cadeia de $S_F$ é a dualidade $\sigma_{FE}$ / $\sigma_{F\lim}$ incorporada em $Y_{ST} = 2{,}0$ — a normalização que estabelece a correspondência entre o estado conhecido do material da engrenagem de teste de referência e a geometria desconhecida do pé do dente da engrenagem real. A compreensão dessa conexão transforma o cálculo de uma sequência de fatores em um modelo fisicamente coerente da iniciação de trinca por fadiga em um entalhe.

A assimetria de falha entre $S_F$ e $S_H$ é importante para além do próprio cálculo. Uma engrenagem que sofreu falha por pitting continua a operar — degradada, ruidosa, gerando detritos — até que ocorra uma intervenção. Uma engrenagem com dente quebrado para imediatamente e de forma catastrófica, levando consigo componentes adjacentes e, potencialmente, a própria máquina. A consequência de um erro em $S_F$ não é simétrica à consequência de um erro em $S_H$. $S_{F,\min}$ nas normas de aplicação é tipicamente estabelecido em um nível superior a $S_{H,\min}$ precisamente por essa razão. O cálculo governa um modo de falha cuja consequência é instantânea — e exige o mesmo rigor.

O pé do dente é onde a energia mecânica se transforma em falha mecânica. Ele merece o mesmo rigor aplicado ao cálculo do flanco — e os dois somente estão completos em conjunto.

O Qevork calcula a cadeia completa de fatores de $S_F$ da ISO 6336-3:2019 — incluindo $Y_F$ a partir da geometria real do pé do dente tanto para hob quanto para shaper cutter, $K_{F\beta}$ derivado de $K_{H\beta}$ conforme a ISO 6336-1, e $Y_{R,\text{rel}T}$ a partir do valor de entrada medido de $R_z$. Os resultados para o pinhão e a roda são apresentados simultaneamente, com a engrenagem determinante identificada. Entre na lista de acesso antecipado para ser notificado no lançamento.